Действующее законодательство РФ в сфере образования действительно предусматривает такую возможность.
Согласно пункту 6 части 1 статьи 8 Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ к полномочиям органов государственной власти субъектов РФ относится финансовое обеспечение получения дошкольного образования в частных дошкольных образовательных организациях, дошкольного, начального общего, основного общего, среднего общего образования в частных общеобразовательных организациях, осуществляющих образовательную деятельность по имеющим государственную аккредитацию основным общеобразовательным программам, посредством предоставления указанным образовательным организациям субсидий на возмещение затрат, включая расходы на оплату труда, приобретение учебников и учебных пособий, средств обучения, игр, игрушек (за исключением расходов на содержание зданий и оплату коммунальных услуг), в соответствии с нормативами, указанными в пункте 3 части 6 статьи 8 Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ.
Таким образом, частные школы и детские сады могут получать финансирование от субъекта РФ путем предоставления им субсидий.
Если речь конкретно идет про школу, то нужно иметь в виду, что на такое финансирование вы можете претендовать только в случае, если ваши основные общеобразовательные программы прошли государственную аккредитация.
Согласно статье 69.1 Бюджетного кодекса Российской Федерации от 31 июля 1998 г. № 145-ФЗ субсидии частным общеобразовательным организациям предоставляются в соответствии с договорами (соглашениями) на оказание такими организациями государственных (муниципальных) услуг т.е. такое финансирование не является обязательным для самой частной школы или садика. Можно соглашение не заключать и не обращаться в соответствующий орган субъекта РФ за получением такой субсидии.
При этом важно также  помнить, что частные ОО при получении субсидии на финансовое обеспечение получения образования соответствующего уровня, не могут взимать дополнительно плату с родителей (законных представителей) на реализацию образовательной программы, то есть если вы получили деньги от государства на реализацию конкретной образовательной программы, то получать деньги от родителей на реализацию такой же программы вы не можете.